题目
若函数f(x)=
x3-ax2+ax在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A. 0<a<
.
B. 1<a<
.
C. a>1或a<0.
D. 0<a<1.
1 |
3 |
A. 0<a<
4 |
3 |
B. 1<a<
4 |
3 |
C. a>1或a<0.
D. 0<a<1.
提问时间:2020-08-03
答案
f′(x)=x2-2ax+a
∵函数f(x)=
x3-ax2+ax在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,
∴f′(x)=x2-2ax+a在(0,1)和(1,2)上各有一个零点,
∴
,解得1<a<
,
故选B.
∵函数f(x)=
1 |
3 |
∴f′(x)=x2-2ax+a在(0,1)和(1,2)上各有一个零点,
∴
|
4 |
3 |
故选B.
对函数f(x)=13x3-ax2+ax求导,根据函数f(x)=13x3-ax2+ax在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,转化为f′(x)的图象在区间(0,1)和(1,2)上与x轴各有一个交点,根据二次函数根的分布求出实数a的取值范围.
函数在某点取得极值的条件.
考查利用导数研究函数的极值问题,转化为二次函数根的分布问题,体现了转化的思想方法;求有关二次函数根的分布问题,体现了数形结合的思想,属中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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