题目

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)的离心率为根号2/2,其左 右焦点分别为F1F2 P是椭圆上一点
向量PF1×向量PF2=0,OP的绝对值=1
求椭圆C的方程
过点S(0,-1/3)的动直线l交与椭圆C与A,B两点,试问：在y轴上是否存在一个定点M,使得以AB为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标,若不存在,请说明理由

提问时间：2020-08-03

答案

离心率为根号2/2, 得 b^2=c^2=a^2/2 椭圆方程可变为：x^2+2y^2=a^2
因为 向量PF1×向量PF2=0,OP的绝对值=1 所以 PF1垂直PF2 PF1F2为直角三角形,
F2F1等于2OP,等于2 即 c=1 a=2c/√2=√2 a^2=2 椭圆方程 x^2+2y^2=2
猜想M点为：（0,1）
设A（x1,y1）, B(x2,y2) 过s(0,--1/3)的AB直线方程为：y+1/3=kx 代入 椭圆方程 x^2+2y^2=2
x^2+2(kx--1/3)^2=2 (1+2k^2)x^2--4kx/3--16/9=0
x1+x2=+4k/3(1+2k^2) x1x2=--16/9(1+2k^2)
y1+y2=k(x1+x2)--2/3=4k^2/3(1+2k^2)--2/3
y1y2=(kx1--1/3)(kx2--1/3)=k^2(x1x2)--k(x1+x2)/3+1/9
=--16k^2/9(1+2k^2)--4k^2/9(1+2k^2)+1/9=--20k^2/9(1+2k^2)+1/9
直线MA的斜率k1=(y1--1)/x1 直线MB的斜率 k2=(y2--1)/x2
k1k2=[(y1-1)(y2-1)]/[x1x2]=[y1y2--(y1+y2)+1]/[--16/9(1+2k^2)]
=[--20k^2/9(1+2k^2)+1/9--4k^2/3(1+2k^2)+2/3+1]/[--16/9(1+2k^2)]
=[--20k^2/9(1+2k^2)--12k^2/9(1+2k^2)+16/9]/[--16/9(1+2k^2)]
=[--32k^2/9(1+2k^2)+16(1+2k^2)/9(1+2k^2)]/[--16/9(1+2k^2)]
=[16/9(1+2k^2)]/[--16/9(1+2k^2)]=--1
k1k2=--1 证明MA垂直MB 即三角形MAB为直角三角形
所以以AB为直径的圆恒过点M.