题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式为：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]；　②f（x）的极值点有且仅有一个；  ③f（x）的最大值与最小值之和等于零，则下列选项正确的是（　　）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③

提问时间：2020-08-03

答案

∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，∴c=0
对函数f（x）求导，得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=±1处的切线斜率均为-1，∴f′（1）=1，f′（-1）=1，
即，3+2a+b=-1，3-2a+b=-1
解得a=0，b=-4
∴（x）=x³-4x，x∈[-2，2]，①正确．
f′（x）=3x²-4，令f′（x）=0，得，x=±

2 3

3

，∴f（x）的极值点有两个，②错误
f（-2）=0，f（-

2 3

3

）=

16 3

6

，f（

2 3

3

）=-

16 3

6

，f（2）=0
∴f（x）的最大值为

16 3

6

，最小值为-

16 3

6

，最大值与最小值之和等于零．③正确．
故选B

先求出函数的导数，因为曲线过原点，所以c=0，因为在x=±1处的切线斜率均为-1，所以函数在x=±1处的导数等于-1，再利用导数等于0求极值点，以及函数的最大值与最小值，逐一判断三个命题即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．

考点点评：本题考查了应用导数求函数的极值点，最大值与最小值，属于导数的应用的常规题．