题目

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最大值不小于8，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-08-03

答案

设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x）＞2x⇔ax²+（b-2）x+c＞0．
已知其解集为（1，3），
∴

a＜0 − b−2 a ＝4⇔b＝2−4a c a ＝3⇔c＝3a

∴f（x）=ax²+（2-4a）x+3a．
（1）若f（x）+6a=0有两个相等的根，
 故ax²-（4a-2）x+9a=0，
△=4+16a²-16a-36a²=0，
解得a=-1或

1

5

（舍去正值），
∴a=-1即f（x）=-x²+6x-3；
（2）由以上可知f（x）=a（x-

2a−1

a

）²+

−a2+4a−1

a

，
∴f（x）_max=

−a2+4a−1

a

≥8，
得a²-4a+1≥-8a⇔a²+4a+1≥0，
解得a≥-2+

3

或a≤-2-

3

  
又∵a＜0，
∴a的取值范围是（-∞，-2-

3

）∪[-2+

3

，0）．

（1）设出二次函数f（x）的一般式，根据不等式的解即为方程的根，求出a，b，c的关系式，再根据方程有两相等的实根的条件：判别式为0，解出a，从而得出函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）配方，求出函数f（x）的最大值，再解不等式，注意a＜0．

本题考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查了二次函数的解析式的求法：待定系数法，同时考查二次方程根与系数的关系以及二次不等式的解法，二次函数的最值及应用，考查运算能力，是一道好题．