题目

若方程X^4-2ax^2-x+a^2-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是?线等啊
若方程X^4-2ax^2-x+a^2-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是?

提问时间：2020-08-03

答案

由x^4-2ax^2-x+a^2-a=0
整理得：(x^2-a)^2=x+a
开平方得：|x^2-a|=(x+a)^(1/2)
令f(x)=|x^2-a|,g(x)=(x+a)^(1/2),原题等价于f(x)与g(x)在定义域内有两个交点的a的取值.
分三类情形：
(1)当a=0时,则f(x)=x^2,g(x)=x^(1/2),显然有两个交点即(0,0)和(1,0),符合题意；
(2)当a=0的幂函数曲线.此类幂函数曲线与直线y=x有特殊联系,幂函数的指数大于1和小于1的一个重要分界,可考察两曲线直线y=x的相交情形,分为以下情形：
(i)当a=-1/4时,可推出f(x)与直线y=x相切于点(1/2,1/2),同样推出g(x)与直线y=x相切于点(1/2,1/2),则由两曲线的位置关系,可以推出此时f(x)与g(x)相切,仅有一个交点,不符合题意；
(ii)当aa>-1/4时,f(x)与直线y=x相交两交点,即（1/2+1/2根号(1+4a),1/2+1/2根号(1+4a)）和（1/2-1/2根号(1+4a),1/2-1/2根号(1+4a)）；g(x)与直线y=x液相交于两交点,即（1/2+1/2根号(1+4a),1/2+1/2根号(1+4a)）和（1/2-1/2根号(1+4a),1/2-1/2根号(1+4a)）.从而f(x)与g(x)相交于上述两交点.符合题意；
(3)当a>0时,则f(x)=|x^2-a|,g(x)=(x+a)^(1/2),f(x)是开口向上,y=x^2-a图像中y=0不变的曲线,且与x轴的交点为A(-根号a,0)和B(根号a,0),在y轴上的顶点为C(0,a)；而g(x)是开口向右,顶点为D(-a,0),y>=0的幂函数曲线.考虑数形结合,分为以下几类情形：
(i)当D点处于A与原点O之间时,即：-根号a