题目

用导数定义在求cosx的导数时,我是这样做的,lim[cos(x+h)-cosx]/h=lim[cosx*cosh-sinx*sinh-cosx]/h
接下来下该怎么做,为什么?我是想将h为0时直接代入cosh中,这样cosx-cosx为零,接下来sinh再用等价无穷小代换为h,计算结果为-1.可是如果将h为0时,sinh怎么办,sinx*sinh这一项就为零了,我这么做就是将式子中部分项代入极限,我感觉将式子拆开来代入不对.我感觉这就好比lim[tanx-sinx]/x将其中的sinx让x直接为0,之后让tanx用等价无穷小换为x.到底是哪里出问题了
还有lim[tanx^2-sinx]/x我化简后等于lim[sinx-cosx]/cosx,我是想将化简后的式子等于
limtanx-1,可是我又想到不能将im[sinx-tanx]/x拆成两部分算极限,
我还想问limsinx/x-imtanx/x与lim[sinx-tanx]/x一样吗

提问时间：2020-08-03

答案

lim[cos(x+h)-cosx]/h=lim[cosx*cosh-sinx*sinh-cosx]/h这一步正确,但“将h为0时直接代入cosh中”这一步开始错,在多项式中中某一项不能单独用等价代换的,所以导致之后的都错了.
如果用这种方法求导的话,可按下式：
lim[cos(x+h)-cosx]/h
=lim[cosx*cosh-sinx*sinh-cosx]/h
=lim[cosx*(cosh-1)]/h-limsinx*sinh/h 此处可用等价代换lim sinh/h=1
同时由cosh-1=-2[sin(h/2)]^2得
=-sinx-limcosx*{-2[sin(h/2)]^2}/h
因为 [sin(h/2)]^2为h的高价无穷小,故limcosx*{-2[sin(h/2)]^2}/h=0
即可得到原式(cosx)'=lim[cos(x+h)-cosx]/h=-sinx
（2）limsinx/x-imtanx/x与lim[sinx-tanx]/x 这两个式子是一样的