题目

（1）已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x²+y²=10相交于点P（3，-1），若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；
（2）已知双曲线的离心率e=

5

2

，且与椭圆

x2

13

+

y2

3

=1有共同的焦点，求该双曲线的方程．

提问时间：2020-08-02

答案

（1）切点为P（3，-1）的圆x²+y²=10的切线方程是3x-y=10．
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y=0．
设所求双曲线方程为9x²-y²=λ（λ≠0）．
∵点P（3，-1）在双曲线上，代入上式可得λ=80，
∴所求的双曲线方程为

x2

80 9

-

y2

80

=1．
（2）在椭圆中，焦点坐标为（±

10

，0），
∴c=

10

，又e=

c

a

=

10

a

=

5

2

，∴a²=8，b²=2．
∴双曲线方程为

x2

8

-

y2

2

=1．

（1）先求出圆过点P的切线方程，进而求出双曲线的两条渐近线方程，再利用已知渐近线方程设出双曲线的方程，最后把点P的坐标代入即可求此双曲线的方程；
（2）先求出椭圆中焦点坐标，求出双曲线中的c，再利用双曲线的离心率e=

5

2

，求出a²和b²．就可求双曲线的方程．

本题考点：双曲线的标准方程；圆锥曲线的综合．

考点点评：本题考查双曲线标准方程的求法．若双曲线的两条渐近线方程是y=±

b

a

x，则双曲线的方程可表示为

x2

a2

-

y2

b2

=λ（λ≠0）．