题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b+c）（sinA+sinB-sinC）=3asinB，则C= ___ °．

提问时间：2020-08-02

答案

由正弦定理可知（sinA+sinB+sinC）（sinA+sinB-sinC）=3sinAsinB
⇒（sinA+sinB）²-sin²C=3sinAsinB，
⇒sin²A+2sinAsinB+sin²B-sin²（A+B）=3sinAsinB，
⇒sin²A+sin²B-（sinAcosB+cosAsinB）²=sinAsinB，
⇒sin²A+sin²B-sin²A•cos²B-2sinAcosBcosAsinB-cos²A•sin²B=sinAsinB
⇒2sin²Asin²B-2sinAcosBsinBcosA=sinAsinB，
⇒cosAcosB-sinAsinB=-

1

2

，
∴cos（A+B）=-

1

2

，
∴A+B=

2π

3

，
所以C=π-（A+B）=

π

3

故答案为：

π

3

．