题目

已知二次函数f(x)=ax的方+bx+c,一次函数g(x)=ax+b
(1)若a>b>c,f(1)=0,证明f（x）的图像与x轴相交；
（2）在条件一的情况下,求证x小于等于－根3时,恒有f(x)>g(x)
（3）弱队x1 x2属于R且x1g(x)
求证x小于等于负根3时……
再明确一下：那个第二问x是两个共用的 是负根3

提问时间：2020-08-02

答案

（1）f(x)=ax^2+bx+c
f(1)=a+b+c=0,得：c=-a-b
⊿=b^2-4ac=b^2+4a(a+b)=(2a+b)^2≥0
所以：f（x）的图像与x轴相交
（2）g(x)=ax+b
f(1)=a+b+c=0,a>b>c,所以a>0
令t(x)=f(x)-g(x)=ax^2+(b-a)x+(c-b)= ax^2+(b-a)x+(-a-2b)
证明x≤-√3时,t(x)>0恒成立
t(x)对称轴x=(a-b)/2a>0,又函数开口向上
因此只要t(-√3)>0,则得证.
t(-√3)=3a+√3(a-b)-(a+2b)=(2+√3)(a-b)>0
故得证.
（3）若对于x1 x2属于R且x1令t(x)=f(x)-{f(x1)+f(x2)}/2
则：t(x1)= {f(x1)-f(x2)}/2；t(x2)= {f(x2)-f(x1)}/2
t(x1)*t(x2)=-{f(x1)-f(x2)}^2/4≤0
所以t(x)=0的解必然有一根在x1,x2之间
即f(x)=f(x1)+f(x2)必有一个实根属于[x1,x2]