题目

挑战题：a,b,c为何值时,多项式f(x)=x^5-ax^4+bx^3+11x+c能被x-1、x+1、x-2整除,并将该多项式分解因式.
怎么分解这个因式的,我不清楚,能提供详细的过程么?

提问时间：2020-08-02

答案

a,b,c为何值时,多项式f(x)=x^5-ax^4+bx^3+11x+c能被x-1、x+1、x-2整除,并将该多项式分解因式.
设f(x)=x^5-ax^4+bx^3+11x+c=(x-1)(x+1)(x-2)(xx+dx+e) (###)
易见x=1,-1,2时f(x)=0,即
1-a+b+11+c=0 (#1)
-1-a-b-11+c=0 (#2)
32-16a+8b+22+c=0 (#3)
#1,#2得-2a+2c=0,b=2+2b+22=0,即a=c,b=-12
代入#3,得54-15a+8*(-12)=0,a=-14/5,于是c=a=-14/5
于是f(x)=x^5+14/5x^4-12xxx+11x-14/5
再取两个特值来计算:
f(0)=-14/5=-1*1*(-2)*e,e=-7/5=-1.4
(f(-2)=...解得d=...下略.续：针对出题在追加提问中要过程而写)
f(-2)=-32+(224/5)+96-22-(14/5)=(-3)*(-1)*(-4)*(4-2d-7/5)
即84=-12(2.6-2d),d=4.8=24/5
于是f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(xx+4.8x-1.4)
另法：
设f(x)=x^5-ax^4+bx^3+11x+c=(x-1)(x+1)(x-2)(xx+dx+e)
展开最右侧,再根据恒等式对应系数相等,得到方程组,可以解出a,b,c,d,e.
于是a,b,c及所求的因式分解均解决了.
其中xx+4.8x-1.4还可以在实数范围内再分解,略.