题目

关于椭圆,圆锥曲线的
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0).已知椭圆的离心率为√6/4,A为椭圆的左顶点,O是坐标原点.若点Q在椭圆上且满足IAQI=(AOI,求直线OQ的斜率的值.

提问时间：2020-08-02

答案

分析：设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为（x0,y0）,与椭圆方程联立,x0²= a²b²/（k²a²+b²）,根据|AQ|=|AO|,A（-a,0）,y0=kx0,可求x0= -2a /（1+k²） ,由此可求直线OQ的斜率的值．

设直线OQ的斜率为,则其方程为y=kx
设点Q的坐标为（x0,y0）,
由条件得
y0=kx0
x0²/a²+y0²/b²=1,
消元并整理可得x0²=a²b²/（k²a²+b²）①
∵|AQ|=|AO|,A（-a,0）,y0=kx0,
∴(x0+a)²+kx0²=a²
∴(1+k²)x0²=2ax0
∵x0≠0,∴x0=-2a/（1+k²）
代入①,整理得(1+k²)²=4k²×a²/b²+4
∵b²/a²=5/8
∴(1+k²)²=32/5 k²
∴5k^4-22k²-15=0
∴k²=5
∴k=±√5



点评：本题考查直线与椭圆的位置关系,联立方程组是关键．

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