题目

证明正弦定理和余弦定理

提问时间：2020-08-02

答案

在三角形ABC中,作BC的垂线交BC于D,联结AD,设AD=h.
因AB=c,AC=b,BC=a,BD=c*cosB,CD=BC-BD=a-c*cosB,
1、证明正弦定理
因 h=AB*sinB=AC*sinC,
即：c*sinB=b*sinC
整理,得：b/sinB=c/sinC,
同理可得：c/sinC=a/sinA,
故证得正统定理：
a/sinA=b/sinB=c/sinC,
2、证明余弦定理
在三角形ABD中,
AB^2=AD^2+BD^2
=h^2+(BD)^2
=[AC^2-(CD)^2]+(BD)^2
=b^2-(a-c*cosB)^2+(c*cosB)^2
=b^2-a^2+2ca*cosB
移项,得余弦定理之一：
b^2=c^2+a^2-2*c*a*cosB,
同理可证：
c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC,
a^2=b^2+b^2-2*b*c*cosA,
证毕.