题目

已知椭圆C的焦点F1(-2根号2,0)和F2(2根号2,0)长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于AB,
若P为改椭圆上任意一点,求MAX：S△PAB,最大值是多少?我算的答案很怪

提问时间：2020-08-02

答案

因为直线是固定不变的,所以AB长不变,S△PAB的大小仅与P至AB的距离有关,当距离最大时,则面积最大,设P(x0,y0),
椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1,
a=6/2=3,c=2√2,b=√(a^2-c^2)=1,
∴椭圆方程为:x^2/9+y^2=1,
其参数方程为:x=3cost,y=sint,
直线方程:x-y+2=0,
P至AB的距离h:
根据点线距离公式,h=|x0-y0+2|/√2,
x0=3cost1,y0=sint1,
h=|3cost1-sint1+2|/√2
=|√10[(3/√10)cost1-sint1(1/√10)]+2|/√2
令sinα=3/√10,则cosα=1/√10,
h=|√10sin(α-t1)+2|/√2
∵-1≤sin(α-t1）≤1,
∴h(max)=(2+√10）/√2
=√2+√5,
∵直线斜率k=1,
∴直线和X轴夹角为45°,cosθ=√2/2,
离心率e=c/a=2√2/3,
根据焦点弦长公式,
|AB|=(2b^2/a)/[1-(ecosθ）^2]
=（2*1/3）/[1-（8/9）*1/2]
=6/5,
∴S△PAB（max)=|AB|*h/2=(6/5)*(√5+√2）/2=3(√5+√2)/5.