题目

已知实数a.b.c满足a^+b^=1,b^+c^=2,c^+a^=2,则ab+bc+ca的最小值为?

提问时间：2020-08-02

答案

∵a²＋b²＝1 ①
b²＋c²＝2 ②
c²＋a²＝2 ③
有②、③得：b²＋c²＝c²＋a²
∴b²＝a²
把b²＝a²代入①得；a²＝b²＝0.5
把a²＝b²＝0.5代入②得；c²＝1.5
ab+bc+ca＝[﹙a＋b＋c﹚²－﹙a²＋b²＋c²﹚]／2
=1/2[(a+b+c)²－﹙5/2﹚]
当﹙a＋b＋c﹚最小时；
1/2(a+b+c)²－﹙5/2﹚才是最小的
∴有两种情况
一种是 a＝b＞0 c＜0
另一种是 c＞0 a＝b＜0
① :a＝b＝√2／2 c＝﹣﹙√6／2﹚
∴a＋b＋c＝﹙2√2－√6﹚／2
∴1/2[(a+b+c)²－﹙5/2﹚]＝﹙1－2√3﹚／2
②a＝b＝﹣﹙√2／2﹚ c＝√6／2
∴1/2(a+b+c)²－﹙5/2﹚＝﹙1－2√3﹚／2
∵﹙2－2√3﹚／2＝﹙1－2√3﹚／2
综上所述：
∴﹙ab+bc+ca﹚min＝﹙1－2√3﹚／2＝0.5－√3