题目

已知函数f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]的区间[1，2]上恒为正值，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-08-02

答案

①当a＞1时，要使f（x）恒为正，只需真数(

1

a

−2)x+1当x∈[1，2]时恒大于1，
令y=(

1

a

−2)x+1，该函数在[1，2]上是单调函数，因此只需

( 1 a −2)×1+1＞1 ( 1 a −2)×2+1＞1

，无解；
②当0＜a＜1时，要使f（x）恒为正，只需真数y=(

1

a

−2)x+1当x∈[1，2]时，在区间（0，1）内取值，
而y=(

1

a

−2)x+1在[1，2]上是单调函数，所以只需

0＜( 1 a −2)×1+1＜1 0＜( 1 a −2)×2+1＜1

，解得

1

2

＜a＜

2

3

．
综上，a的范围是

1

2

＜a＜

2

3

．

应该分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，确定真数的范围，使得该对数恒为正．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题一方面考查了对数函数的性质，要结合对数函数的图象来解决问题；另一方面要注意分类讨论．