题目

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）
（1）当a,c异号时,求证：此方程定有两个不等实数根.
（2）当a=1,b=m,c=m-2,其中m为任意实数,试判断此方程根的情况.
（3）当a,b,c都为奇数时,试证明：此方程一定没有有理数.

提问时间：2020-08-02

答案

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）
判别式是Δ=b²-4ac
(1)
当a,c异号时,ac＜0
所以Δ=b²-4ac＞0
所以此方程定有两个不等实数根
(2)
当a=1,b=m,c=m-2时
Δ=b²-4ac=m²-4*1*(m-2)=m²-4m+8=(m-2)²+4＞0
所以此方程定有两个不等实数根
(3)
用反证法
a,b,c是奇数,假设m/n是方程的根（设m/n是最简分数,即m,n没有公约数）
代入方程得a(m/n)²+b(m/n)+c=0
即am²+bmn+cn²=0
①当m,n都是奇数
那么奇+奇+奇=奇,不符合等于0
②当m是奇数,n是偶数
那么奇+偶+偶=奇,也不会等于0,不符合
③当m是偶数,n是奇数
那么偶+偶+奇=奇,也不会等于0,不符合
所以假设不成立,那么即是说a,b,c是奇数时,方程无有理数解.
如果不懂,祝学习愉快!