题目

设{a_n}是首项为1的正数项数列，且（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0（n∈N^*），经归纳猜想可得这个数列的通项公式为______．

提问时间：2020-08-02

答案

∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，
∴（n+1）a_n+1=na_n或a_n+1+a_n=0，
∵{a_n}是首项为1的正数项数列，
∴（n+1）a_n+1=na_n，
∴a_n+1=

n

n+1

a_n，
即

an+1

an

=

n

n+1

，
∴

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an−1

=

an

a1

=a_n=

1

2

×

2

3

×…×

n−1

n

=

1

n

（n∈N^*）
故这个数列的通项公式为a_n=

1

n

（n∈N^*）
故答案为：a_n=

1

n

（n∈N^*）