题目

如图，△ABC中，BC=4，∠B=45°，AB=3

2

，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，设MN=x，△MNC的面积为S．求：S关于x的函数关系式．

提问时间：2020-08-02

答案

过A点作AD⊥BC于D，交MN于H，则AD⊥MN；
在Rt△ABD中，AB=3

2

，∠B=45°；
∴AD=3；
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC；
∴

AH

AD

＝

MN

BC

，
即

AH

3

＝

x

4

，AH=

3

4

x；
∴DH=AD-AH=3-

3

4

x；
∴S=

1

2

MN•DH=

1

2

（3-

3

4

x）=-

3x2

8

+

3

2

x．

欲求△NMC的面积，已知了底边MN的长，关键是求出NM边上的高；过A作AD⊥BC于D，交MN于H，由于NM∥BC，则AH⊥MN，那么DH即为所求的高；易证得△AMN∽△ABC，根据相似三角形的对应边和对应高的比都等于相似比，即可求出AH的表达式，进而可得到DH的表达式，以MN为底，DH为高，可得到关于S、x的函数关系式．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：此题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法以及二次函数的应用等知识，能够正确的构建并求出△MNC的高是解答此题的关键．