题目

已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0．

提问时间：2020-08-02

答案

∵不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0．且f（2）=0，
∴f(log2(x2+5x+4))≥f(2)．
∵偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴|log2(x2+5x+4)|≥2，
∴log2(x2+5x+4)≥2或log2(x2+5x+4)≤−2．
∴x²+5x+4≥2²或0＜x²+5x+4≤2^-2，
解得x≥0或x≤-5，或

x＞−1或x＜−4 −5− 10 2 ≤x≤ −5+ 10 2

，
∴原不等式的解集为{x|x≥0或x≤-5或−1＜x≤

−5+ 10

2

或

−5− 10

2

≤x＜−4}

利用偶函数的性质f（-x）=f（x）=f（|x|）及其单调性与已知f(log2(x2+5x+4))≥f(2)．可得|log2(x2+5x+4)|≥2，化为log2(x2+5x+4)≥2或log2(x2+5x+4)≤−2．再利用对数的单调性可得x²+5x+4≥2²或0＜x²+5x+4≤2^-2，再利用一元二次不等式的解法即可．

本题考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、一元二次不等式的解法等基础知识与基本方法，属于中档题．