题目

帮忙求这个数列的通项（特征根）
用特征根求 a(n)=a(n-1)*a(n-2) a1=1 a2=2 的通项公式
我只想知道为什么不能用特征根。

提问时间：2020-08-01

答案

由通项公式和初始项,很容易看出a(n)>0,所以
a(n)=a(n-1)*a(n-2) 两边同求对数,得到
log2(a(n))=log2(a(n-1))+log2(a(n-2)),
令b(n)=log2(a(n)),那么就有
b(n)=b(n-1)+b(n-2),
由于x^2-x-1=0的两个根是(1+√5)/2和(1-√5)/2,所以由特征根法可以假设
b(n)=x((1+√5)/2)^n+y((1-√5)/2)^n,其中x,y为待定系数.
将 b1=log2(a1)=0 和 b2=log2(a2)=1 代入,可求出
x=(√5-1)/(2√5),y = (1+√5)/(2√5),
所以 b(n)=(√5-1)/(2√5)*((1+√5)/2)^n+(1+√5)/(2√5)*((1-√5)/2)^n
= 1/√5*((1+√5)/2)^(n-1)-1/√5*((1-√5)/2)^(n-1),
故 a(n)= 2^b(n) = 2^( ((1+√5)/2)^(n-1)-((1-√5)/2)^(n-1))/√5).