题目

已知a＞0，a≠1，数列{a_n}是首项为a，公比也为a的等比数列，令b_n=a_nlga_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）当数列{b_n}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围．

提问时间：2020-08-01

答案

（Ⅰ）由题意知a_n=aⁿ，b_n=naⁿlga．
∴S_n=（1•a+2•a²+3•a³+…+n•aⁿ）lga．
∴aS_n=（1•a²+2•a³+3•a⁴+…+n•aⁿ⁺¹）lga．
以上两式相减得（1-a）S_n=（a+a²+a³+…+aⁿ-n•aⁿ⁺¹）lga=[

a(1−an)

1−a

−n•an+1]lga．
∵a≠1，∴Sn＝

alga

(1−a)2

[1−(1+n−na)an]．
（Ⅱ）由b_n＜b_n+1⇒nlga•aⁿ＜（n+1）lga•aⁿ⁺¹⇒lga•aⁿ[n-（n+1）a]＜0，
∵aⁿ＞0，
∴lga[n（a-1）+a]＞0．①
（1）若a＞1，则lga＞0，n（a-1）+a＞0，故a＞1时，不等式①成立；
（2）若0＜a＜1，则lga＜0，不等式①成立⇔n（a-1）+a＜0，∴0＜a＜

n

n+1

．
综合（1）、（2）得a的取值范围为a＞1或0＜a＜

n

n+1

．