题目

在各项均为正数的数列an中,前n项和Sn满足2Sn+1=an(2an+1)证明an是等差数列
证明an是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式

提问时间：2020-08-01

答案

2Sn+1=an(2an+1)
Sn=an^2+an/2-1/2
S1=a1=a1^2+a1/2-1/2
a1^2-a1/2-1/2=0
a1=1,a1=-1/2(不符合题意,舍去）
an=Sn-S(n-1)=an^2+an/2-a(n-1)^2-a(n-1)/2
an^2-a(n-1)^2-an/2-a(n-1)/2=0
[an-a(n-1)-1][an+a(n-1)]=0
∵数列an中各项均为正数
∴an-a(n-1)-1=0
an-a(n-1)=1
∴an是首项为1,公差为1的等差数列
an=1+n(n-1)/2
Sn=n(n+1)/2