题目

设总体X~U（0,θ）,X1,X2,···,Xn是取自该总体的一个样本.X0是样本平均数.
（1） 证明θ1=2X0,θ2=（n+1）/n.X(n)是θ的无偏估计（其中X（n）=max﹛X1,X2,···,Xn﹜）；
（2） θ1和θ2哪一个更有效（n≥2）?

提问时间：2020-08-01

答案

对任意i,显然都有E(Xi)= θ/2 ,故E(θ1)=2E(X0)=2/n ∑E(Xi)=2*θ/2=θ
令t=X(n)为次序统计量,根据次序统计量的密度公式,其密度为g(t)=nF(t)^(n-1)p(t)
其中p()和F()分别表示均匀分布的密度函数与分布函数,p(t)=1/θ,F(t)=t/θ
所以g(t)=nt^(n-1)/ θ^n
因此E(θ2)=(n+1)/nE(x(n))= (n+1)/n*∫(nt^n/θ^n)dt=(n+1)/n*(θ*n/(n+1))= θ
故θ1与θ2都是无偏估计
接下来再比较θ1与θ2的方差,方差小的效更好
VAR(θ1)=4VAR(X0)=4/n^2 ∑VAR(Xi)=4/n*VAR(Xi)
VAR（Xi）=E(Xi^2)-(E(Xi))^2=θ^2/3-θ^2/4=θ^2/12
故VAR(θ1)= θ^2/(3n)
VAR(θ2)=(n+1)^2/n^2VAR(x(n)) 命x(n)=t VAR(t)=E(t^2)-(Et)^2=n/(n+2)*θ^2-(θ*n/(n+1))^2=n/((n+1)^2*(n+2))θ^2
故VAR(θ2)=1/(n*(n+2)) θ^2
而VAR(θ1)/VAR(θ2)=(n+2)/3,当n>=2时,VAR(θ1)/VAR(θ2)>1,即VAR(θ1)>VAR(θ2),因此θ2更加有效