题目

一个实对称矩阵经过如何的变换能变成上三角矩阵或下三角矩阵
求特征根的时候化行列式总是化不出来

提问时间：2020-08-01

答案

你说的是分解特征多项式求特征值的方法吧
给你个例子体会一下:
2 -1 -1
-1 2 1
-1 1 2
求A的特征值λ
|A-λE|=
2-λ -1 -1
-1 2-λ 1
-1 1 2-λ
r3-r2
2-λ -1 -1
-1 2-λ 1
0 λ-1 1-λ
这一步关键:将某行(列)一个数化为0的同时,另两个含λ的元素差一个倍数,这样就可以提出λ的一个因子,也可以继续化简.
c2+c3
2-λ -2 -1
-1 3-λ 1
0 0 1-λ
= (1-λ)*
2-λ -2
-1 3-λ
这个2次的λ的多项式,可用十字相乘法分解.
|A-λE|=
2-λ -1 -1
-1 2-λ 1
-1 1 2-λ
r1+r2,r3-r2
1-λ 1-λ 0
-1 2-λ 1
0 λ-1 1-λ
c2-c1+c3
1-λ 0 0
-1 4-λ 1
0 0 1-λ
= (1-λ)^2(4-λ)
所以A的特征值为1,1,4.