题目

直线y=kx+1（k∈R）与椭圆

x2

5

+

y2

m

＝1恒有公共点，则m的取值范围是（　　）
A. [1，5）∪（5，+∞）
B. （0，5）
C. [1，+∞）
D. （1，5）

提问时间：2020-07-31

答案

联立

y＝kx+1 x2 5 + y2 m ＝1

，消去y得到（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0，（m＞0，m≠5）
∵直线y=kx+1（k∈R）与椭圆

x2

5

+

y2

m

＝1恒有公共点，
∴△≥0，即100k²-20（1-m）（m+5k²）≥0，化为m²+5mk²-m≥0，
∵m＞0，∴m≥-5k²+1，
∵-5k²+1≤1，∴m≥1（m≠5）．
故选A．

联立

y＝kx+1 x2 5 + y2 m ＝1

，消去y得到（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0，（m＞0，m≠5），由题意必须满足△≥0，解出即可．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：熟练掌握直线与椭圆的位置关系转化为直线方程与椭圆方程联立得到关于x的一元二次函数的△≥0的问题是解题的关键．