题目

n阶行列式D=/Aij/的任意一列（行）各元素与另一列（行）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.如何证明

提问时间：2020-07-31

答案

设该行列式为D,不妨设题目中指出的两行分别是第i行和第j行,则D按照第j行展开式为：
|a11 ... a1n|
|... |
|ai1 ... ain|
D= |... |=aj1Aj1+...+ajnAjn
|aji ... ajn|
|... |
|an1 ... ann|
若换成另一行元素相乘得ai1Aj1+...ainAjn=|a11 ... a1n|
|... |
|ai1 ... ain|
|... |
|ai1 ... ain|
|... |
|an1 ... ann|（这是由题意得到的）
显然,aj1...ajn一行被ai1...ain替换才可写成那形式,即aji=ai1,..ajn=ain.这样,行列式中就有两行是相同的了,所以行列式值为0