题目

行列式某一行的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.书上的证明好像有问题啊!
书上证明是将行列式的第j行元素用第i行对应元素代换,然后证的代换后的新行列式满足定理ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn=0.但这样只能证明代换后的新行列式满足此定理,并且新行列式具有特殊性,存在两行元素完全相同.我的意思是,平白无故的把行列式的某一行的元素变了,然后创造出满足的条件,没有根据啊!在下感激不尽,

提问时间：2020-07-31

答案

【分析】书上的证明是没错的.书上是用了行列式的以下两个性质
①存在完全相同的两行（列）的行列式值为零；
②行列式中某元素aij的余子式的值,与该元素aij的数值无关.（这点是理解此题的关键）
设原行列式 An =
a11 a12 …… a1n
a21 a22 …… a2n
a31 a32 …… a3n
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）
…………………………
aj1 aj2 …… ajn ← — — — —（第 j 行）
…………………………
an1 an2 …… ann
于是,书上构造了一个新的行列式 Bn.Bn是将原行列式An的第 j 行元素用第 i 行元素替换得来的.（An与Bn是两个数值完全不相等的行列式,要搞清楚!）
即,Bn =
a11 a12 …… a1n
a21 a22 …… a2n
a31 a32 …… a3n
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 j 行）
…………………………
an1 an2 …… ann
由于An与Bn除了第 j 行元素外,其余所有数字都对应相等,
所以便有,An 与 Bn分别按第 j 行元素展开的余子式对应相等,即Bjk=Ajk （k=1,2,……,n）
（**注：理解好这一步是理解全题的关键）
所以Bn按第 j 行展开,得
Bn=ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn
而∵Bn存在两行完全相同的元素,
∴Bn = 0
即,ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0 （证毕）