题目

如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F．

（1）若BE⊥AC，求证CF⊥AB；
（2）若O、E分别是BC、AC的中点，求证F也是AB的中点．

提问时间：2020-07-31

答案

证明：（1）根据点B（b，0）和点P的坐标（0，p）写出直线BP的斜率为-

p

b

，
由点A（0，a）和C（c，0）写出直线AC的斜率为-

a

c

，
因为BE⊥AC，所以（-

p

b

）（-

a

c

）=-1，即pa=-bc；
而由C（c，0）和P（0，p）斜率为-

p

c

，由A（0，a）和B（b，0）斜率为-

a

b

，
则斜率之积为（-

p

c

）（-

a

b

）=

pa

bc

=

pa

−pa

=-1，所以CF⊥AB；
（2）因为O为线段BC的中点，且PO⊥BC，所以OP为线段BC的垂直平分线，
∴|BP|=|CP|，且|AB|=|AC|，
∴∠PBO=∠PCO，且∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACP，
又∠FPB=∠EPC，
∴△BPF≌△CPE，
∴|BF|=|CE|，
又E是线段AC的中点，所以|CE|=

1

2

|AC|，
则|BF|=

1

2

|AB|，所以F为线段AB的中点．