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题目
已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径.∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D.DE⊥AB于点E,且交AC于点P.连结AD,
求证:

(1)∠DAC=∠DBA;
(2)P是线段AF的中点.

提问时间:2020-07-31

答案
(1)∵BD平分∠CBA,
∴∠CBD=∠DBA,
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,
∴∠DAC=∠DBA.
(2)∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
又∵DE⊥AB于点E,
∴∠DEB=90°,
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°,
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP,
∴PD=PA,
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP,
∴∠PDF=∠PFD,
∴PD=PF,
∴PA=PF,即P是线段AF的中点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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