题目
特征根公式求数列 通项公式怎么用啊
我要通俗的
我要通俗的
提问时间:2020-07-31
答案
特征根法仅实用于求关系式中仅含有An和An+1的数列的通项.
即把式子中的An和An+1都用一个字母x替换,就变成了一个关于x的方程式,解出x
情况1:如果x有一个解,就原式两边减去这个x的值,然后两边都变为倒数(等式依然成立),这时就很容易看出规律来了
情况2:如果x有两个解,值分别为m和n,就用原式两边分别减去m得式子*,再用原式两边分别减去n,得式子#,然后用将两式化简,再用式子*左边除以式子#左边,式子*右边除以式子#右边,再左边等于右边,就很容易看出规律了!
例:已知数列{an}中,a1=1,则a(n+1)=an+6/an+2.求该数列的通项公式
【解】
a(n+1)=(an+6)/(an+2),解特征方程:x=(x+6)/(x+2),解得x=2或-3.
a(n+1)=(an+6)/(an+2),
两边减去2可得:
a(n+1)-2=(an+6)/(an+2)-2,a(n+1)-2=(-an+2)/(an+2),
(a(n+1)-2) =-(an-2)/(an+2).……①
a(n+1)=(an+6)/(an+2),
两边减去 -3可得:a(n+1)+3=(an+6)/(an+2)+3,
a(n+1)+3=(4an+12)/(an+2),(a(n+1)+3)=4(an+3)/(an+2).……②
①÷②可得:[(a(n+1)-2) / [(a(n+1)+3)/ =-1/4*[(an-2) /(an+3)],
所以数列{(an-2) /(an+3)}是公比为-1/4的等比数列,首项为(a1-2) /(a1+3)=-1/4,
所以(an-2) /(an+3)=(-1/4)* (-1/4)^(n-1),(an-2) /(an+3)= (-1/4)^n,
解得:an=[3+2*(-4)^n]/[ (-4)^n-1].
例:A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A(n+1)-6An,
【解】
特征方程为:y²= 5y-6那么,m=3,n=2,或者m=2,n=3
于是,A(n+2)-3A(n+1)=2[A(n+1)-3An] (1)
A(n+2)-2A(n+1)=3[A(n+1)-2An] (2)
所以,A(n+1)-3A(n)= - 2 ^ n (3)
A(n+1)-2A(n)= - 3 ^ (n-1) (4)
消元消去A(n+1),就是An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.
即把式子中的An和An+1都用一个字母x替换,就变成了一个关于x的方程式,解出x
情况1:如果x有一个解,就原式两边减去这个x的值,然后两边都变为倒数(等式依然成立),这时就很容易看出规律来了
情况2:如果x有两个解,值分别为m和n,就用原式两边分别减去m得式子*,再用原式两边分别减去n,得式子#,然后用将两式化简,再用式子*左边除以式子#左边,式子*右边除以式子#右边,再左边等于右边,就很容易看出规律了!
例:已知数列{an}中,a1=1,则a(n+1)=an+6/an+2.求该数列的通项公式
【解】
a(n+1)=(an+6)/(an+2),解特征方程:x=(x+6)/(x+2),解得x=2或-3.
a(n+1)=(an+6)/(an+2),
两边减去2可得:
a(n+1)-2=(an+6)/(an+2)-2,a(n+1)-2=(-an+2)/(an+2),
(a(n+1)-2) =-(an-2)/(an+2).……①
a(n+1)=(an+6)/(an+2),
两边减去 -3可得:a(n+1)+3=(an+6)/(an+2)+3,
a(n+1)+3=(4an+12)/(an+2),(a(n+1)+3)=4(an+3)/(an+2).……②
①÷②可得:[(a(n+1)-2) / [(a(n+1)+3)/ =-1/4*[(an-2) /(an+3)],
所以数列{(an-2) /(an+3)}是公比为-1/4的等比数列,首项为(a1-2) /(a1+3)=-1/4,
所以(an-2) /(an+3)=(-1/4)* (-1/4)^(n-1),(an-2) /(an+3)= (-1/4)^n,
解得:an=[3+2*(-4)^n]/[ (-4)^n-1].
例:A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A(n+1)-6An,
【解】
特征方程为:y²= 5y-6那么,m=3,n=2,或者m=2,n=3
于是,A(n+2)-3A(n+1)=2[A(n+1)-3An] (1)
A(n+2)-2A(n+1)=3[A(n+1)-2An] (2)
所以,A(n+1)-3A(n)= - 2 ^ n (3)
A(n+1)-2A(n)= - 3 ^ (n-1) (4)
消元消去A(n+1),就是An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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