题目

已知圆C1：x²+y²+6x=0关于直线L1:y=2x+1对称的圆C.
（1）求圆C的方程.
（2）过点（-1,0）作直线L与圆C交于A、B两点,O是坐标原点.设向量OS=向量OA+向量OB,是否存在这样的直线L,使得四边形OASB的对角线相等?若存在,求出所有满足条件的直线L的方程；若不存在,请说明理由.
第（1）问我已经解出来了,是（x-1)²+(y+2)²=9

提问时间：2020-07-31

答案

根据向量的几何意义知道四边形OASB是平行四边形,因为对角线相等,∠AOB=∠AOS+∠BOS=∠OAB+∠OBA=∠SBA+∠OBA=∠OBS,所以∠AOB=∠OBS=90°,所以四边形OASB是矩形,也就是说OA⊥OB
直线过点(-1,0),是圆C外的一点,所以直线可设为斜率式y=k(x+1)
OA⊥OB,即是[x(1),y(1)]*[x(2),y(2)]=0
所以x(1)x(2)+y(1)y(2)=0
将y=k(x+1)代入,有(1+k^2)x(1)x(2)+k^2[x(1)+x(2)]+k^2=0
直线L与圆的相交,联立直线L与圆C的方程,化成关于x的方程,(1+k^2)x^2+2(k^2+2k-1)x+(k^2+4k-4)=0
所以x(1)x(2)=(k^2+4k-4)/(1+k^2),x(1)+x(2)= -2(k^2+2k-1)/(1+k^2)
(k^2+4k-4)-2k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)+k^2=0
即是(k^2+2k-2)-k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)=0
(k^2+2k-1)-1-k^2(k^2+2k-1)/(1+k^2)=0
(k^2+2k-1)/(1+k^2)=1
化简后2k-1=1
k=1
所以直线的方程是y=x+1