题目

如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，求证：AD+DE=BE．

提问时间：2020-07-30

答案

证明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中

∠DEB＝∠C(已证) ∠EBD＝∠CBD(已证) DB＝DB(公共边)

，
∴△DEB≌△DCB（AAS）．
∴DE=DC，BE=BC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD+DC=AC=BC（已知），
∴AD+DE=BE（等量代换）．

由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB，再根据全等三角形的对应边相等得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、全等三角形的判定及其性质等知识．利用相等的线段进行等效转是解答本题的关键．