题目

设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）
A. （-1，0）∪（1，+∞）
B. （-1，0）∪（0，1）
C. （-∞，-1）∪（1，+∞）
D. （-∞，-1）∪（0，1）

提问时间：2020-07-30

答案

设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是增函数，
∵f（1）=0，
∴f（-1）=0；
即g（-1）=0，g（1）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
设x＞0，故不等式为g（x）＞g（1），即1＜x；
设x＜0，故不等式为g（x）＞g（-1），即-1＜x＜0．
故所求的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
故选A．

由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、还有g（-1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．

本题考点：函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．