题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端点是B,向量AB乘向量AF等于6减4倍根号3,角BAF等于150°,1.求双曲线方程,2.设Q是双曲线上的点,且过点F,Q的直线l,与y轴交于点M,若向量MQ+2向量QF=0向量,求直线l的斜率.

提问时间：2020-07-30

答案

1.建立执教坐标系xoy,右顶点是A,虚轴的上端点是B,则A（a,0）、B(0,b）
角BAF等于150°,所以在Rt△AOB中,OA=OB√3,
即a=b√3 （1）
将其代入c^2=a^2+b^2得
c=2b （2）
而右焦点坐标F（c,0）,向量AB=（-a,b）,向量AF=（c-a,0）
所以-a*（c-a）=6-4√3 （3）
将（1）、（2）代入（3）解得
b=√2
所以c=2√2,a=√6
所求双曲线方程 x^2/6-y^2/2=1
2.设直线L：y=k（x-2√2）
则M（0,-2k√2）设Q（x,y）
向量MQ=（x,y+2k√2）
向量QF=（2√2-x,-y）
向量MQ+2向量QF=0向量可解得x=4√2 y=2k√2
Q是双曲线上的点,所以可以得出y的值y^2=26/3 y=√(26/3)或者
y=-√(26/3)
所以k=y/2√2
即可得出结果k=√39/6或者k=-√39/6