题目

过点C（4，0）的直线与双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（　　）
A. |k|≥1
B. |k|＞

3

C. |k|≤

3

D. |k|＜1

提问时间：2020-07-29

答案

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-4），
由

y=k(x-4) x2 4 - y2 12 =1

消去y，得（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0．
∴x₁+x₂=-

8k2

3-k2

，x₁+x₂=

-16k2-12

3-k2

．
∵直线AB与抛物线的右支有两个不同的交点，
∴

△=64k4-4(3-k2)(-16k2-12)>0 x1+x2=- 8k2 3-k2 >0 x 1x2= -16k2-12 3-k2 >0

，化简此不等式组可得k²>3，即|k|>

3

．
故选：B

根据题意，设直线AB的方程为y=k（x-4），与双曲线消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系与根的判别式建立关于k的不等式组，解之即可得到k的取值范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．

考点点评：本题已知经过定点的直线与双曲线右支交于不同的两点，求直线斜率的取值范围．着重考查了双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．