题目

设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，则f（x）在区间[-10，10]上的值域为______．

提问时间：2020-07-29

答案

法一：∵g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）
又∵函数f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[-2，5]
令x+6=t，当x∈[3，4]时，t=x+6∈[9，10]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=[x+g（x）]+6
所以，在t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11]…（1）
同理，令x-13=t，在当x∈[3，4]时，t=x-13∈[-10，-9]
此时，f（t）=t+g（t）=（x-13）+g（x-13）=（x-13）+g（x）=[x+g（x）]-13
所以，当t∈[-10，-9]时，f（t）∈[-15，-8]…（2）
…
由（1）（2）…得到，f（x）在[-10，10]上的值域为[-15，11]
故答案为：[-15，11]
法二：由题意f（x）-x=g（x） 在R上成立
 故 f（x+1）-（x+1）=g（x+1）
所以f（x+1）-f（x）=1
由此知自变量增大1，函数值也增大1
故f（x）在[-10，10]上的值域为[-15，11]
故答案为：[-15，11]