题目

已知a，b，c∈R⁺，求证：

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥

3

2

．

提问时间：2020-07-29

答案

证明：∵（a+b）+（b+c）+（a+c）≥3

3	(a+b)(b+c)(c+a)

，

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

≥3

3	1 a+b • 1 b+c • 1 a+c

∴[（a+b）+（b+c）+（a+c）]•（

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

）≥9（当且仅当a=b=c时，取等号）
∴

a+b+c

a+b

+

a+b+c

b+c

+

a+b+c

a+c

≥

9

2

∴

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥

3

2

利用基本不等式证明（a+b）+（b+c）+（a+c）≥3

3	(a+b)(b+c)(c+a)

，

1

a+b

+

1

b+c

+

1

a+c

≥3

3	1 a+b • 1 b+c • 1 a+c

，从而可得结论．

本题考点：分析法和综合法．

考点点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．