题目

如图,在三角形ABC中,角BAC等于90度,AB等于小于AC,M 是BC边的中点
如图,在三角形ABC中,角BAC等于90度,AB等于小于AC,M 是BC边的中点,P在AB边上,PM垂直MQ交AC于点Q,过M作MN垂直BC交AC边于点N,｛1｝当角C等于45度时,如图,猜想PA＋QN与BC的数量关系式,{2}当角C=30度时,猜想NQ、PA、BC之间的数量关系,并加以证明,{3},在{2}的条件下,连接PQ,当PQ=2√13,AB=4√3时,直线PQ交直线BC于点H,求PH长.求详解,

提问时间：2020-07-29

答案

⑴∵∠BAC=90°,∠C=45°,∴ΔABC是等腰直角三角形,A、N重合,
AM⊥BC,∴∠MAP=45°=∠C,∠AMQ+∠CMQ=90°,AM=1/2BC=CM,
∵∠PMQ=90°,∴∠AMQ+∠AMP=90°,
∴ΔAMP≌ΔCMQ,∴AP=CQ,
∴NQ+AP=AC=√2BC/2.
⑵∵NM⊥BC,∠C=30°,∴∠CNM=∠B=60°,MQ=√3/3BC,
又∠NMQ+∠PMQ=∠PMQ+∠PMB,
∴∠NMQ=∠PMB,
∴ΔMNQ∽ΔMPB,
∴NQ/PB=MQ/MB=√3/3,
∴NQ=√3/3PB=√3/3(AB-AP)=√3/3(1/2BC-AP)
∴6NQ+2√3AP=√3BC.
⑶AB=4√3,则BC=8√3,MN=√3/3*CM=4,CN=8,AC=√3AB=12,
∴AN=4,∴AQ=4+NQ,由PQ=2√13得,(4+NQ)^2+AP^2=52,
则⑵得：6NQ+2√3AP=24,
NQ=4-√3/3AP,
∴(8-√3/3AP)^2+AP^2=52,
(AP-2√3)^2=3,
AP=3√3,∴NQ=4-3=1,PB=√3,AQ=5,
过H作HD⊥AB交AB延长延长线于D,设HD=X,则BD=√3/3X,
由ΔPQA∽ΔPHD得：
HD/AQ=PD/PA,X/5=3√3/(√3+√3/3X),X=15/4,
∴PD=√3/3*15/4+√3=9√3/4,
∴PH=√(HD^2+PD^2)=3√13/2.