题目

椭圆x^2+y^2=1(a大于b大于0)和圆：x^2+y^2=b^2,过圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B..
设直线AB与x轴,y轴分别交于点M,N.求证：(a^2/｜ON｜^2）+（b^2/｜OM｜^2)为定值.答案相当郁闷看不懂.答好追加分.

提问时间：2020-07-29

答案

若圆的方程为x²+y²=r^2,点m（x0,y0）在圆外,求证点m关于该圆的切点弦所在的直线方程是x0*x+y0*y=r²

证明：设两个切点为A（x1,y1)、B(x2,y2)
则过A点的切线为 x1x+y1y=r²
过B点的切线为 x2x+y2y=r²
∵两条切线都过点 M（x0,y0)
∴ x1x0+y1y0=r²
x2x0+y2y0=r²
∴点A(x1,y1)、B(x2,y2)都满足方程x0x+y0y=r²
∴直线AB的方程是 x0x+y0y=r²
∴设椭圆上的P点（x0,y0)
则直线AB的方程是 x0x+y0y=b²
令x=0 y=|b²/y0|
令y=0 x=|b²/x0|
∴S=½xy=½b^4/|x0y0|.①
再由椭圆的参数方程x0=acosα y0=bsinα
x0y0=½absin2α≤½ab
∴带入①得 S≥b³/a