题目

已知圆x^2+y^2=1直线L:y=kx+b(k>0,b>0)是圆的一条切线,且与椭圆x^2/2+y^2=1交于不同两点A,B
若弦AB的长为4/3,求直线L的方程

提问时间：2020-07-29

答案

设A（x1,y1）,B（x2,y2）且x1>x2,则由直线L是圆的一条切线可知b/根号(k^2+1)=1 （1）
把直线L的方程带入椭圆方程中,根据韦达定理得到 x1+x2=-4kb/[1+2*(k^2)],x1*x2=[2*(b^2)-2]/(1+2*(k^2)),从而得到x1-x2=根号[16(k^2)-8(b^2)+8]/[1+2*(k^2)] (2)
由AB的弦长为4/3,可知根号（k^2+1）*(x1-x2)=4/3 (3)
由（1）,（2）,（3）解得k=1,b=根号2,所以直线L的方程为y=x+根号2