题目

设函数f（x）=x²-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t），求g（t）的值域．

提问时间：2020-07-28

答案

∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，∴对称轴x=1，顶点坐标（1，-2），如图所示；
f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
当0≤t≤1时，g（t）=-2；
当t≥1时，在区间[t，t+1]上是增函数，g（t）=f（t）=t²-2t-1；
当t≤0时，在区间[t，t+1]上是减函数，g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）-1=t²-2．
∴g（t）=

−2            0≤t≤1 t2−2t−1   t＞1 t2−2         t＜0

综合以上得：g（t）的值域为[-2，+∞）．

通过函数f（x）与g（t）的关系求出g（t）的函数表达式，再求出各表达式的值域取并集即可．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：此题是关于二次函数的最值问题，解题时体会分类讨论和数形结合思想．