题目

怎样证明三角形的三条中线的和大于4分之3的周长而小于周长呢

提问时间：2020-07-28

答案

证明：不妨设三角形ABC的三条中线分别是AD,BE CF.它们的交点为G .
连结DE,根据三角形重心定理可知：DG=AD/3,EG=BE/3
根据三角形中位线定理可知：DE=AB/2
在三角形DEG中 DG+EG大于DE
即：AD/3+BE/3大于AB/2
所以2(AD+BE)大于3AB
同理可得：2(BE+CF)大于3BC
2(CF+AD)大于3AC
上面三式相加可得：4(AD+BE+CF)大于3(AB+BC+AC)
即：AD+BE+CF大于3(AB+BC+AC)/4
又 在三角形ABD中 AD小于AB+BD
在三角形ACD中 AD小于DC+AC
以上二式相加得：2AD小于AB+AC
同理：2BE小于BC+AB
2CF小于AC+BC
上面三式相加可得：2(AD+BE+CF)小于2(AB+BC+AC)
即：AD+BE+CF小于AB+BC+AC.