题目

求函数y=a的2x次方-2乘以a的x次方-1的单调区间和值域

提问时间：2020-07-28

答案

y = a^(2x) - 2a^x - 1 = (a^x)² - 2a^x - 1 = (a^x-1)² - 2
根据指数函数的要求,a＞0且a≠1
（一）0＜a＜1时,a^x单调减：
x∈（-∞,0） 时,(a^x-1)²单调减,f(x)=(a^x-1)² - 2单调减；
x∈（0,∞） 时,(a^x-1)²单调增,f(x)=(a^x-1)² - 2单调增.
∴单调减区间：（-∞,0）,单调增区间（0,∞）
x=0时取最小值f(0)=(a^0-1)²-2=-2
x趋近于-∞时,a^x趋近于+∞,f(x)趋近于+∞
所以值域【-2,+∞）
（二）
a＞1时,a^x单调增：
x∈（-∞,0） 时,(a^x-1)²单调减,f(x)=(a^x-1)² - 2单调减；
x∈（0,∞） 时,(a^x-1)²单调增,f(x)=(a^x-1)² - 2单调增.
∴单调减区间：（-∞,0）,单调增区间（0,∞）
x=0时取最小值f(0)=(a^0-1)²-2=-2
x趋近于∞时,a^x趋近于+∞,f(x)趋近于+∞
所以值域【-2,+∞）
综上：
单调减区间：（-∞,0）
单调增区间（0,∞）
值域【-2,+∞）