题目

收敛数列一定有界的问题
收敛数列一定是有界的.这个是对的.
收敛函数一定是有界的,这个是错的.
这两个问题不同的本质到底是什么呢?

提问时间：2020-07-28

答案

本质就是
收敛数列一定有界,（反证,假设无界,肯定不收敛）
有界数列不一定收敛,（反例,数列{(-1)^n}是有界的,但它却是发散的.）
额 ,没看清楚你写的是收敛函数,我的回答只是针对数列
本质的不同数列的收敛是指当n趋于无穷时数列项趋于一个数,而数列的前面的有限项是一个确定的数,显然有界,当n趋于无穷时数列收敛,说明后面的任意项都是一个有限的数.
而函数收不收敛是指 当x趋于x0时,函数的敛散情况,当x趋于x0收敛,函数在x0处肯定是有界的,但并不代表x趋于x1就一定收敛,是否有界也不得而知.