题目

如何证明 有界数列必有收敛子数列
本人未学数学分析,求高数大神提供简单证明

提问时间：2020-07-28

答案

“简单”证明是不太可能了,建议你自己看一下数学分析,严格的推导我就不说了,给你个大体思想.
首先设c<=x_k<=d,对于所有k成立,这里运用了有界的条件.
其次,记c_1=c,d_1=d,将[c,d]按区间长度平均一分为二,显然数列中有无穷多项在分出来的两部分中的一部分,记此部分区间为[c_2,d_2],这样继续下去,我们得到了2列数列{c_k}与{d_k}且对任意的k都有[c_k,d_k]有原数列中的无穷多项这样一性质.
再次,注意我们的分法是平均一分为二的,即[c_k,d_k]的区间长度是在以1/2的速度缩小的,由闭区间套定理（这证明就麻烦了,略）{c_k}与{d_k}将同时收敛于同一极限.记为y.
最后,既然每一区间[c_k,d_k]都包含原数列的无穷多项,容易知道我们可以从中取出一子列{y_k}使得y_k在区间[c_k,d_k]中,再由极限夹逼性质得到{y_k}的极限即y.