题目

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围为______．

提问时间：2020-07-27

答案

因为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，
所以F点到P点与A点的距离相等；
因为|FA|=

a2

c

−c=

b2

c

，|PF|∈[a-c，a+c]，
所以

b2

c

∈[a-c，a+c]，
可得ac-c²≤b²≤ac+c²，
即ac-c²≤a²-c²≤ac+c²，
解得

c a ≤1 c a ≤−1或 c a ≥ 1 2

，
即

1

2

≤e＜1．
所以椭圆的离心率的取值范围为[

1

2

，1)．
故答案为：[

1

2

，1)．

首先根据点F在AP的垂直平分线上，可得|PF|=|FA|；然后求出|FA|=

b2

c

，|PF|∈[a-c，a+c]，所以

b2

c

∈[a-c，a+c]，从而求出椭圆的离心率的取值范围即可．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题主要考查了椭圆的基本性质的运用，属于基础题，解答此题的关键是根据题意，判断出|PF|=|FA|．