题目

抛物线y²=-12x的一条弦的中点为M（-2,-3）,求次弦所在的方程及弦长
直线方程已经解出来了 y=2x+1 弦长我算出来是根号75...

提问时间：2020-07-27

答案

你的答案是正确的,只是弦长的值还需要化简!
第一个问题：
由抛物线方程y^2＝－12x,可知：抛物线关于x轴对称,而点M（－2,－3）不在x轴上,
∴过点M的弦存在斜率,令斜率为k,则弦的方程是：y＋3＝k（x＋2）,即：y＝kx＋2k－3.
联立：y＝kx＋2k－3、y^2＝－12x,消去y,得：（kx＋2k－3）^2＝－12x,
∴k^2x^2＋2（2k－3）kx＋（2k－3）^2＋12x＝0,
∴k^2x^2＋2［（2k－3）k＋6］x＋（2k－3）^2＝0.
∵弦的两端点都在直线y＝kx＋2k－3上,
∴可设弦的两端点坐标分别为（m,km＋2k－3）、（n,kn＋2k－3）.
显然,m、n是方程k^2x^2＋2［（2k－3）k＋6］x＋（2k－3）^2＝0的两根,
∴由韦达定理,有：m＋n＝－2［（2k－3）k＋6］/k^2.
由中点坐标公式,有：（m＋n）/2＝－2,∴m＋n＝－4,∴－2［（2k－3）k＋6］/k^2＝－4,
∴（2k－3）k＋6＝2k^2,∴2k^2－3k＋6＝2k^2,∴k＝2,∴2k－3＝1.
∴满足条件的弦的方程是：y＝2x＋1.
第二个问题：
由韦达定理,有：mn＝（2k－3）^2/k^2＝［（2×2－3）/2］^2＝1/4.
∴弦长
＝√［（m－n）^2＋（km－kn）^2］＝√［（1＋k^2）（m－n）^2］
＝√［（1＋4）（m－n）^2］＝√｛5［（m＋n）^2－4mn］｝
＝√｛5×［（－4）^2－4×（1/4）］｝＝√［5×（16－1）］＝5√3.