题目

过抛物线y的平方=8（x+2）的焦点F作倾斜角为60度的直线,若直线与抛物线交于A,B两点,弦AB的中垂线与X轴的
弦AB的中垂线与X轴的交于P点,则线段PF的长等于多少

提问时间：2020-07-27

答案

由抛物线方程y^2＝8（x＋2）,得：抛物线的焦点坐标为F（0,0）.　又tan60°＝√3.
∴过F且倾斜角为60°的直线方程是：y＝√3x.
∴可令A、B的坐标分别是（m,√3m）、（n,√3n）.
联立：y＝√3x、y^2＝8（x＋2）,消去y,得：3x^2＝8x＋16,　∴3x^2－8x－16＝0.
显然,m、n是方程3x^2－8x－16＝0的两根,　∴由韦达定理,有：m＋n＝8/3.
∴由中点坐标公式,得：AB中点的横坐标是4/3,　∴AB中点的纵坐标是4/√3.
∴AB的中垂线方程是y－4/√3＝－（1/√3）（x－4/3）.令其中的y＝0,得：
（1/√3）（x－4/3）＝4/√3,　∴x－4/3＝4,　∴x＝4＋4/3＝16/3.
∴点P的横坐标是16/3.
即：线段PF的长度是16/3.