题目

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Sn-1/2Sn-1 +1,a1=2,求证{1/Sn}是等差数列
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Sn-1/2Sn-1 +1（n大于等于2）,a1=2,求证{1/Sn}是等差数列及an的表达式

提问时间：2020-07-27

答案

由Sn=Sn-1/2Sn-1 +1 ,两边同时取倒数
可得1/Sn=( 2Sn-1 +1)/Sn-1
1/Sn= 2+1/Sn-1
即1/Sn-1/Sn-1=2
故{1/Sn}是首项为1/2,公差为2的等差数列
1/Sn=1/2+2（n-1） 得Sn=2/(4n-3)
由an与Sn的关系可知,n=1时,a1=S1=2
a>1时,an=Sn-Sn-1=2/(4n-3)-2/(4n-7)
整理得an= -8/(4n-3)(4n-7)
要求什么,首先必须抓住条件,从条件入手,像目标靠近.数列题目,应该善于利用an与Sn的关系.以及Sn-1与Sn的关系.