题目

椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2=1 (a>b>0)的右焦点为F 其右准线与x轴交点为A 在椭圆上存在P点满足线段AP垂直平分线
过点F 则椭圆离心率的取值范围是?
为何设（-a,0）为B 则有|FB|>=|AF|即为其离心率范围..

提问时间：2020-07-27

答案

设点P（x,y）
椭圆焦半径公式PF=a-ex
因为点F是AP的垂直平分线上的点
所以PF=FA
a-ex=a²/c-c
ex=a-b²/c
x=a(ac-b²)/c²
因为-a≤x≤a
所以a(ac-b²)/c²≤a
ac-a²+c²≤c²
ac-a²≤0
c-a≤0
c≤a恒成立
a(ac-b²)/c²≥-a
ac-b²≥-c²
ac-a²+c²≥-c²
2c²+ac-a²≥0
2e²+e-1≥0
(2e-1)(e+1)≥0
e≥1/2或e≤-1
所以e的取值范围[1/2,1)